Kalkulator na steroidih

Računalniki in moderni grafični vmesniki omogočajo nove dimenzije poučevanja matematike, s katerimi se lahko odmaknemo od računstva k razumevanju konceptov. GeoGebra je brezplačni ekosistem aplikacij, pripomočkov in lekcij, ki je namenjen tako učiteljem matematike kakor učencem, koristi pa tudi študentom.

Eni izmed glavnih ovir pri poučevanju matematike, zaradi česar se ta univerzalna veda često zreducira na računstvo in učenje postopkov na pamet, sta analognost pripomočkov (tabla, kreda, zvezek) in omejena prostorska predstava ljudi. Medtem ko je cilj učenja funkcij usvojiti njihove osnovne značilnosti in pridobiti sposobnost »bistroumnega vpogleda«, tega, žal, pogosto ne dosežemo, ker iz zapisa 2*sin(x-π) vsem ni samoumevno, da gre za raztegnjeno (po osi y) in premaknjeno (po osi x) funkcijo.

Precej drugače pa bi bilo, če bi uporabljali aplikacije iz paketa GeoGebra. Gre za skupek interaktivnih aplikacij, ki so namenjene poučevanju in učenju algebre, geometrije, statistike in celo diferencialnega računa. Z njimi lahko narišemo na desetine funkcij in sproti gledamo, kako »plešejo« ob spreminjanju parametrov.

Na domači strani najdemo naslednje aplikacije: Graphing Calculator, Geometry, 3D Calculator, Scientific Calculator, poleg njih pa še stari GeoGebra Classic 5 in 6 ter Augmented Reality. Vse razen zadnje so na voljo za uporabo v brskalniku, podpirajo pa tudi namestitev v okoljih Android, iOS, Windows, macOS, Chromebook in Linux. Težko bomo našli sistem, kjer ne delujejo. Augmented Reality pa deluje le na iOS.

Graphing Calculator je interaktivni koordinatni sistem za izris grafov funkcij. Vanj lahko vpišemo katerokoli funkcijo (podpira tudi bolj specialne, denimo Si(x) oziroma integralni sinus), da jo izriše. Tako lahko hitro pokažemo, kako spreminjanje posameznih parametrov vpliva na krivuljo. Program funkciji sam določi vse ekstremne točke. Šele z drugim zavihkom pa se odpre zakladnica možnosti. Funkciji lahko poiščemo ničle, prevoje ipd., lahko pa v isti koordinatni sistem vrišemo premice, večkotnike, kroge, merimo kote in ploščice ter še in še. Vse relevantne enačbe se sproti izpisujejo, tako da, na primer, takoj vidimo enačbo na novo narisanega kroga ali pravokotnice. Vse skupaj je uporabno, če se gremo, na primer, analitično geometrijo.

Scientific Calculator je klasični kalkulator z znanstvenimi funkcijami. Razume se, da pozna ulomke (in računanje z njimi), število π in vse funkcije, ki jih imajo pametni kalkulatorji. V primerjavi z ostalimi aplikacijami je še najmanj impresiven, ker je vse v njem že videno drugod. Obvlada pa simbolno računanje, tako da lahko definiramo, da je n enak neki zapleteni konstanti ali izrazu, potem pa vnašamo poenostavljeno obliko.

Aplikacija Geometry omogoča risanje vseh mogočih struktur v dveh dimenzijah. Tu ne gre le za večkotnike, kroge, razpolovišča daljic ali vzporednice. Omogoča risanje tangent, vektorjev, krožnih lokov in odsekov, vseh vrst stožnic (parabole, hiperbole, elipse), premike in zrcaljenja, vrteže in raztege … Sproti se v posebnem oknu tudi izpisuje, v kakšni odvisnosti so narisani predmeti (kaj je iz česa izpeljano). V narisanem pa lahko tudi merimo razdalje, kote, površine in naklone.

3D Calculator je edina aplikacija, za katero je treba skorajda prebrati navodila. V principu omogoča isto, le da v treh razsežnosti, kar je precej teže razumeti in si dobro predstavljati. Sicer pa so funkcije enake.

Za učenje verjetnosti je še spletna aplikacija Probability, ki zna izrisati različne porazdelitve (Gaussovo, Studentovo, logistično, Cauchyjevo …) z različnimi parametri ter izračunati ustrezne integrale v želenih mejah. V drugem zavihku pa podpira osnovne statistične teste (Z, T).

Povsem svoje poglavje pa so vedeži (tutorial) in kurzi (courses). Dvanajst vedežev je namenjenih spoznavanju z okoljem GeoGebra in si jih lahko ogledamo, če česa ne znamo ali če bi se želeli naučiti še podrobnosti. In teh je v GeoGebri res precej. Kurzov je več deset in učijo različnih tem v matematiki: od konstrukcije iracionalnih števil do ekstremalnih problemov pri diferencialnem računu. Izdelali so jih različni ljudje, zato so eni bolj podrobni, drugi pa zgolj orišejo pot do rešitve problema.

GeoGebra se trudi vzpostaviti skupnost uporabnikov, zato ponuja tudi registracijo ter združevanje v skupine, kjer lahko pišemo, komentiramo in ustvarjamo.

GeoGebra ni Mathematica ali MatLab. Večino stvari v njej moramo naklikati, poudarek pa je na vizualizaciji ali razumljivosti, ne na pridobivanju rezultatov. Za namen poučevanja pa je odlična. Ker jo razvija neprofitna organizacija v sodelovanju z univerzo v Linzu in odprtokodno skupnostjo, je vse skupaj brezplačno, del kode pa celo odprt. Priporočamo!

GeoGebra

Kaj: paket interaktivnih aplikacij in kurzov za učenje in poučevanje matematike

Kje: www.geogebra.org

Kdo: Markus Hohenwarter, International GeoGebra Institute

Cena: Brezplačno.

Za: Podpora vsem popularnim platformam, obilica funkcij, enostavno uporabe.

Proti: Nič.